Question

3．已知函数f（x）=e^x（asinx+bcosx）在（0，1）处的切线与直线y=2x+e平行．
（1）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（2）当0＜x＜1时，求证：f（x）＞（1+x-x²）ln（x+2）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a，b的方程，解得a=b=1，再由f（x）的导数，解不等式可得单调区间；
（2）先证sinx+cosx＞1+x-x²，设g（x）=sinx+cosx-（1+x-x²），可通过二次求得导数，运用单调性证明；再证e^x＞ln（x+2），设m（x）=e^x-ln（x+2）（0＜x＜1），求出导数判断单调性，即可得证．最后运用不等式的可乘性即可得到原不等式成立．

解答 （1）解：函数f（x）=e^x（asinx+bcosx）的导数为
f′（x）=e^x[（a-b）sinx+（a+b）cosx]，
在（0，1）处的切线与直线y=2x+e平行，
则有f（0）=1，f′（0）=2，
即为b=1，a+b=2，
解得a=b=1；
f（x）=e^x（sinx+cosx）的导数为f′（x）=2e^x•cosx，
由f′（x）＞0可得cosx＞0，即为2kπ-$\frac{π}{2}$＜x＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
由f′（x）＜0可得cosx＜0，即为2kπ+$\frac{π}{2}$＜x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
则f（x）的增区间为（2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$）k∈Z，
减区间为（2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$），k∈Z；
（2）证明：由0＜x＜1可设g（x）=sinx+cosx-（1+x-x²），
g′（x）=cosx-sinx-1+2x，
令h（x）=cosx-sinx-1+2x，
h′（x）=-sinx-cosx+2=2-$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$＞0恒成立．
h（x）在（0，1）递增．即有h（0）＜h（x），
即为h（x）＞0，即为g′（x）=cosx-sinx-1+2x＞0，
g（x）在（0，1）递增，即有g（x）＞g（0）=0，
则当0＜x＜1时，sinx+cosx＞1+x-x²①
又设m（x）=e^x-ln（x+2）（0＜x＜1），
m′（x）=e^x-$\frac{1}{x+2}$，当0＜x＜1时，m′（x）＞0恒成立，
即有m（x）在（0，1）递增，
即m（x）＞m（0）＞0，
即有e^x＞ln（x+2）②
由①②可得e^x（sinx+cosx）＞（1+x-x²）ln（x+2），
故当0＜x＜1时，f（x）＞（1+x-x²）ln（x+2）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查函数的单调性的运用，同时考查不等式的证明，注意运用构造函数通过导数判断单调性，以及不等式的性质是解题的关键．