题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点
到抛物线
焦点的距离为
.
(1)求的值;
(2) 设是抛物线上异于
的两个不同点,过
作
轴的垂线,与直线
交于点
,过
作
轴的垂线,与直线
交于点
,过
作
轴的垂线,与直线
分别交于点
.
求证:①直线的斜率为定值;
②是线段
的中点.
【答案】(1) ,
..
(2) ①证明见解析. ②证明见解析.
【解析】分析:(1)由抛物线定义知,所以
,将点
代入抛物线得
,
;(2) 设
求得
,
,利用斜率公式消去
、
可得直线
的斜率为
;②设点
的横坐标分别为
,求得
,
,根据中点坐标公式化简即可的结果.
详解:(1)由抛物线定义知,
所以,
将点代入抛物线得
,
(2)设
①则直线的方程为:
令得,
,所以
同理
所以直线的斜率为
(定值)
②设点的横坐标分别为
由①知,直线的方程为:
令得,
又直线的方程为:
令得,
所以
所以是线段
的中点.
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