题目内容
【题目】若函数的定义域为
,满足对任意
,有
.则称
为“
形函数”;若函数
定义域为
,
恒大于0,且对任意
,恒有
,则称
为“对数
形函数”.
(1)当时,判断
是否是“
形函数”,并说明理由;
(2)当时,判断
是否是“对数
形函数”,并说明理由;
(3)若函数是
形函数,且满足对任意
都有
,问
是否是“对数
形函数”?请加以证明,如果不是,请说明理由.
【答案】(1)不是;详见解析(2)是;详见解析(3)是,详见解析
【解析】
(1)由,作差化简,得到当
,
同号时,此时
,即可得到结论;
(2)因为恒成立,可利用分析法和函数的新定义,作出判定和证明.
(3)由的新定义和
,得到
,进而得到
,再根据对数的运算性质,即可求解.
(1)由题,函数,
则
当,
同号时,此时
,
此时不满足,所以
不是
型函数.
(2)因为恒成立,
要证对任意,
,
,
即证对任意,
,
,
即证对任意,
,
.
因为,
所以是对数
型函数
(3)函数是对数
型函数.证明如下:
因为是
型函数,所以对任意
,
,有
,
又由对任意,有
,所以
,
所以,所以
,
所以,
所以是对数
型函数.
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