Question

7．已知不等式x²+bx+x＞0的解集为{x|x＜-2或x＞-1}．
（1）求b和c的值．
（2）求不等式cx²+bx+a≤0的解集．

Answer 1

分析 （1）由一元二次不等式与对应的一元二次方程的关系，结合根与系数的关系，进行解答即可，
（2）需要分类讨论，即可得到不等式的解集．

解答 解：（1）因为不等式x²+bx+c＞0的解集为{x|x＜-2或x＞-1}．
∴-2和-1是方程x²+bx+c=0的两个根，
∴-2+（-1）=-b，（-2）×（-1）=c，
解得：b=3，c=2，
（2）由（1）可得不等式cx²+bx+a≤0为2x²+3x+a≤0，
△=9-8a
 ①当△＜0，即a＞$\frac{9}{8}$时，原不等式解集为∅，
 ②当△=0，即a=$\frac{9}{8}$时，原不等式解集为{x|x=-$\frac{3}{4}$}，
 ③当△＞0，即a＜$\frac{9}{8}$时，原不等式解集为{x|$\frac{-3-\sqrt{9-8a}}{4}$≤x≤$\frac{-3+\sqrt{9-8a}}{4}$}，
综上①当a＞$\frac{9}{8}$时，原不等式解集为∅，
 ②当a=$\frac{9}{8}$时，原不等式解集为{x|x=-$\frac{3}{4}$}，
 ③当a＜$\frac{9}{8}$时，原不等式解集为{x|$\frac{-3-\sqrt{9-8a}}{4}$≤x≤$\frac{-3+\sqrt{9-8a}}{4}$}．

点评 本题考查二次不等式的解法，考查二次方程和二次不等式的关系，考查韦达定理的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．