Question

17．函数f（x）的导函数为f′（x）且2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）对x∈（0，+∞）恒成立，若0＜a＜b，则（　　）

• A． b²f（a）＜a²f（b），b³f（a）＞a³f（b）
• B． b²f（a）＞a²f（b），b³f（a）＜a³f（b）
• C． b²f（a）＞a²f（b），b³f（a）＞a³f（b）
• D． b²f（a）＜a²f（b），b³f（a）＜a³f（b）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，通过求导得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，求出g（a）＜g（b），令h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，通过求导得函数h（x）在（0，+∞）单调递减，求出h（a）＞h（b），从而得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，则g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵2f（x）＜xf′（x），∴g′（x）＞0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（a）＜g（b），即$\frac{f（a）}{{a}^{2}}＜\frac{f（b）}{{b}^{2}}$，
∴b²f（a）＜a²f（b）；
令h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，则h′（x）=$\frac{xf′（x）-3f′（x）}{{x}^{4}}$，
∵xf′（x）＜3f（x），∴h′（x）＜0，
∴函数h（x）在（0，+∞）单调递减，
∴h（a）＞h（b），即：$\frac{f（a）}{{a}^{3}}＞\frac{f（b）}{{b}^{3}}$，
∴b³f（a）＞a³f（b），
故选：A．

点评 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．解答的关键是先得到导数的正负，再利用导数的性质得出函数的单调性．本题的难点在于构造出合适的函数，题后应总结一下，为什么这样构造合理．