Question

11．下列四个命题：
（1）“?x∈R，x²-x+1≤0”的否定；
（2）“若x²+x-6≥0，则x＞2”的否命题；
（3）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞$\frac{1}{2}$”的充分不必要条件；
（4）“k=2”是“函数f（x）=2^x-（k²-3）•2^-x为奇函数”的充要条件．
其中真命题的序号是（1），（2）（真命题的序号都填上）

Answer 1

分析 （1）原命题的否定为“?x∈R，x²-x+1＞0”，由于△=-3＜0，即可判断出正误；
（2）由于原命题的逆命题为：“若x＞2，则x²+x-6≥0”，是真命题，进而判断出原命题的否命题具有相同的真假性；
（3）在△ABC中，“sinA＞$\frac{1}{2}$”⇒“150°＞A＞30°”，即可判断出正误；
（4）“函数f（x）=2^x-（k²-3）•2^-x为奇函数”则f（-x）+f（x）=0，化为（k²-4）（2^2x+1）=0，此式对于任意实数x成立，可得k=±2，即可判断出真假．

解答 解：（1）“?x∈R，x²-x+1≤0”的否定为“?x∈R，x²-x+1＞0”，由于△=-3＜0，因此正确；
（2）“若x²+x-6≥0，则x＞2”的逆命题为：“若x＞2，则x²+x-6≥0”，是真命题，因此原命题的否命题也是真命题，正确；
（3）在△ABC中，“sinA＞$\frac{1}{2}$”⇒“150°＞A＞30°”，因此“A＞30°”是“sinA＞$\frac{1}{2}$”的既不充分也不必要条件，不正确；
（4）“函数f（x）=2^x-（k²-3）•2^-x为奇函数”则f（-x）+f（x）=2^-x-（k²-3）•2^x+2^x-（k²-3）•2^-x=0，化为（k²-4）（2^2x+1）=0，此式对于任意实数x成立，∴k=±2，因此“k=2”是“函数f（x）=2^x-（k²-3）•2^-x为奇函数”的充分不必要条件，不正确．
其中真命题的序号是 （1），（2）
故答案为：（1），（2）．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性、三角函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．