Question

12．设函数f（x）=|2x+1|，x∈R
（1）求不等式|f（x）-2|≤5的解集；
（2）若g（x）=$\frac{1}{f（x）+f（x-1）+m}$的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由不等式|f（x）-2|≤5，可得-7≤2x+1≤7，由此求得它的解集．
（2）由题意可得|2x+1|+|2x-1|+m≠0 恒成立．利用绝对值三角不等式可得|2x+1|+|2x-1|≥2，可得m的范围．

解答 解：（1）由不等式|f（x）-2|≤5，可得-5≤f（x）-2≤5，-3≤f（x）≤7，即|2x+1|≤7，
即-7≤2x+1≤7，即-4≤x≤3，故不等式|f（x）-2|≤5的解集为[-4，3]．
（2）由g（x）=$\frac{1}{f（x）+f（x-1）+m}$=$\frac{1}{|2x+1|+|2x-1|+m}$ 的定义域为R，
对任意实数x，有|2x+1|+|2x-1|+m≠0 恒成立． 
因为|2x+1|+|2x-1|≥|2x+1-（2x-1）|=2，所以m＞-2．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．