Question

20．f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x十2）=-f（x），当0≤x≤1时．f（x）=x²+x．
（1）求函数f（x）的周期；
（2）求函数f（x）在-1≤x≤0时的表达式；
（3）求f（6.5）．

Answer 1

分析 （1）根据f（x+2）=-f（x）便可得到f（x）=f（x+4），从而得出该函数的周期为4；
（2）可设-1≤x≤0，从而有0≤-x≤1，这样可求出f（-x），根据f（x）为奇函数从而得出-1≤x≤0时的f（x）解析式；
（3）根据f（x）的周期为4，和条件f（x+2）=-f（x）将6.5变到区间[0，1]上求函数值即可．

解答 解：（1）f（x）=-f（x+2）=f（x+4）；
即f（x）=f（x+4）；
∴f（x）的周期为4；
（2）设-1≤x≤0，则0≤-x≤1；
∴f（-x）=x²-x=-f（x）；
∴f（x）=-x²+x；
即-1≤x≤0时，f（x）=-x²+x；
（3）f（6.5）=f（2.5+4）=f（2.5）=f（0.5+2）=-f（0.5）=-0.75．

点评 考查函数周期的定义，对于奇函数，已知一区间上的函数解析式，从而求其对称区间上的解析式的方法，将自变量的值变到知道解析式的f（x）对应的区间上从而求函数值的方法．