题目内容
1.已知抛物线C1:y2=2px(p>0)与椭圆C2:x2+2y2=m2(m>0)的一个交点为P(1,t),点F是抛物线C1的焦点.且|PF|=$\frac{3}{2}$.(Ⅰ)求p,t,m的值;
(Ⅱ)设O为坐标原点,椭圆C2上是否存在点A(不考虑点A为C2的顶点),使得过点O作线段OA的垂线与抛物线C1交于点B,直线AB交y轴于点E,满足∠0AE=∠E0B?若存在,求点A的坐标;若不存在,说明理由.
分析 (Ⅰ)利用抛物线的定义求p,点的坐标代入求出t,m的值;
(Ⅱ)设出OA,OB的方程于椭圆、抛物线分别联立,求出A的横坐标,利用∠0AE=∠E0B,分类讨论,即可得出结论.
解答 解:(Ⅰ)由题意1+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$,∴p=1,∴抛物线C1:y2=2x,
(1,t)代入y2=2x,∴t=±$\sqrt{2}$,
(1,$±\sqrt{2}$)代入椭圆C2:x2+2y2=m2(m>0),∴m=$\sqrt{5}$;
(Ⅱ)设OA的斜率为k,则OB的斜率为-$\frac{1}{k}$,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=5}\end{array}\right.$,可得x=±$\sqrt{\frac{5}{1+2{k}^{2}}}$;
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$,可得x=2k2,
若∠0AE=∠E0B,则根据对称性,考虑A在第一、三象限的情形.
A在第一象限,则A($\sqrt{\frac{5}{1+2{k}^{2}}}$,k$\sqrt{\frac{5}{1+2{k}^{2}}}$),B(2k2,-2k),且$\sqrt{\frac{5}{1+2{k}^{2}}}$≠2k2,
设直线AB与x轴相交于D,
∵∠0AE=∠E0B,∠DOE=∠A0B=90°,
∴∠0AD=∠A0D,∠0BD=∠D0B,
∴AD=OD=BD,
∴D是AB的中点,
∴k$\sqrt{\frac{5}{1+2{k}^{2}}}$=2k,∴k2=$\frac{1}{8}$,∴A(2,$\frac{\sqrt{2}}{2}$);
A在第二象限,k<0则A(-$\sqrt{\frac{5}{1+2{k}^{2}}}$,-k$\sqrt{\frac{5}{1+2{k}^{2}}}$),B(2k2,-2k),且$\sqrt{\frac{5}{1+2{k}^{2}}}$≠2k2,
设直线AB与x轴相交于D,
∵∠0AE=∠E0B,∠A0B=90°,
∴∠0AE+∠A0E=∠E0B+∠A0E,
∴OE⊥AB,
∴-k$\sqrt{\frac{5}{1+2{k}^{2}}}$=-2k,∴k2=$\frac{1}{8}$,∴A(-2,$\frac{\sqrt{2}}{2}$);
综上,A(±2,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)或A(±2,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$).
点评 本题考查抛物线、椭圆的方程,考查直线与抛物线、椭圆的位置关系,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.