已知点B是椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的上顶点.F1.F2分别是椭圆的左右焦点.直线BF1.BF2与椭圆分别交于E.F两点.△BEF为等边三角形．(1)求椭圆C的离心率,(2)已知点在椭圆C上.且直线l:y=kx+m与椭圆C交于M.N两点.若直线F1M.F2N的倾斜角分别为α.β.且α+β=$\frac{� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

已知点B是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点，F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，直线BF₁，BF₂与椭圆分别交于E，F两点，△BEF为等边三角形．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）已知点（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C上，且直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，若直线F₁M，F₂N的倾斜角分别为α，β，且α+β=$\frac{π}{2}$，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

分析（Ⅰ）根据三角形为等边三角形，列式求解离心率．
（Ⅱ）先求得椭圆方程，直线l：y=kx+m与椭圆C联立，得所以（k²-1）x₁x₂+（mk+1）（x₁+x₂）+m²-1=0，依条件求解．

解答解：（Ⅰ）B（0，b）F₁（-c，0），F₂（c，0）．
又△BEF为等边三角形，所以，△BF₁F₂为等边三角形．
∴2c=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，①又a²=b²+c²②
由①②解得$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$
椭圆C的离心率$e=\frac{1}{2}$．…（3分）
（Ⅱ）由题意椭圆方程为3x²+4y²=3a²，由于点（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C上，
因此a²=4，b²=3，因此椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．…（4分）
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y，得（3+4k²）x²+8mkx+4m²-12=0．设M（x₁，y₁）．N（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，由$α+β=\frac{π}{2}$，得sinα=cosβ，cosα=sinβ，…（7分）
因此tanαtanβ=1，即${k}_{M{F}_{1}}{k}_{M{F}_{2}}=1$，因此（kx₁+m）（kx₂+m）=（x₁-1）（x₂-1），
所以（k²-1）x₁x₂+（mk+1）（x₁+x₂）+m²-1=0，…（9分）
因此$（{k}^{2}-1）\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+（mk+\sqrt{3}）（\frac{-8mk}{3+4{k}^{2}}）$+m²-1=0，整理，得
m²+8mk+16k²-9=0，即（m+4k）²=3，m=-4k±3．…（11分）
于是直线方程为y=k（x-4）±3，因此直线过定点（4，3）或（4，-3）．…（13分）