Question

2．已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（a＞1）$上，其中A（0，1）．
（1）若点B，C关于原点对称，且直线AB，AC的斜率乘积为$-\frac{1}{4}$，求椭圆方程；
（2）若三角形ABC是以A为直角顶点的直角三角形，该三角形的面积的最大值为$\frac{27}{8}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由直线AB，AC的斜率乘积为$-\frac{1}{4}$，分别表示出AB，AC的斜率，计算即可．
（2）设AB的方程为：y=kx+1（k＞0），则AC的方程为：$y=-\frac{1}{k}x+1$，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1，\;\;\\ \frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得   （1+a²k²）x²+2a²kx=0，利用弦长公式求弦长，按题意计算．

解答 解：（1）设B（x₀，y₀），则C（-x₀，-y₀）${K_{AB}}•{K_{AC}}=\frac{{{y_0}-1}}{x_0}•\frac{{-{y_0}-1}}{{-{x_0}}}=-\frac{{{y_0}^2-1}}{{{x_0}^2}}=-\frac{1}{a^2}=-\frac{1}{4}$
所以椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$
（2）显然直线AB斜率存在．
设AB的方程为：y=kx+1（k＞0），则AC的方程为：$y=-\frac{1}{k}x+1$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1，\;\;\\ \frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得   （1+a²k²）x²+2a²kx=0，解得${x_B}=\frac{{-2{a^2}k}}{{1+{a^2}{k^2}}}$，
用“$-\frac{1}{k}$”替换“k”得${x_C}=\frac{{2{a^2}k}}{{{a^2}+{k^2}}}$，
故$AB=\frac{{2{a^2}k}}{{1+{a^2}{k^2}}}•\sqrt{1+{k^2}}，\;\;AC=\frac{{2{a^2}k}}{{{a^2}+{k^2}}}•\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB•AC=\frac{{2{a^4}k（1+{k^2}）}}{{（1+{a^2}{k^2}）（{a^2}+{k^2}）}}=\frac{{2{a^4}（{k+\frac{1}{k}}）}}{{{a^2}（{{k^2}+\frac{1}{k^2}}）+{a^4}+1}}$，
令$t=k+\frac{1}{k}≥2$，则${S_{△ABC}}=\frac{{2{a^4}}}{{{a^2}t+\frac{{{{（{a^2}-1）}^2}}}{t}}}≤\frac{a^3}{{{a^2}-1}}$（当且仅当$t=\frac{{{a^2}-1}}{a}＞2$时等号成立），
由$\frac{a^3}{{{a^2}-1}}=\frac{27}{8}$得（a-3）（8a²-3a-9）=0
解得a=3，或$a=\frac{{3±\sqrt{297}}}{16}$（因为$a=\frac{{3+\sqrt{297}}}{16}$时，$t=\frac{{{a^2}-1}}{a}＜2$，故舍去），所以a=3．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查考生计算能力，属于中档题型，高考常考题型．