题目内容
4.已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2-bx(a、b为常数).(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当函数g(x)在x=2处取得极值-2.求函数g(x)的解析式;
(3)当$a=\frac{1}{2}$时,设h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)在定义域上存在单调减区间,求实数b的取值范围.
分析 (1)求出函数f(x)的导数,求得切线的斜率和切点,运用店携手方程即可得到切线方程;
(2)求得g(x)的导数,由题意可得g(2)=-2,g′(2)=0,解方程即可得到所求解析式;
(3)若函数h(x)在定义域上存在单调减区间依题存在x>0使h′(x)=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$(x>0).h′(x)<0(x>0)即存在x>0使x2-bx+1<0,运用参数分离,求得右边的最小值,即可得到所求范围.
解答 解:(1)由f(x)=lnx(x>0),可得f′(x)=$\frac{1}{x}$(x>0),
∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y-f(1)=f′(1)(x-1),
即y=x-1,
所求切线方程为y=x-1;
(2)∵又g(x)=ax2-bx可得g′(x)=2ax-b,
且g(x)在x=2处取得极值-2.
∴$\left\{\begin{array}{l}{g^/}(2)=0\\ g(2)=-2\end{array}\right.$,可得$\left\{\begin{array}{l}4a-b=0\\ 4a-2b=-2\end{array}\right.$解得$a=\frac{1}{2}$,b=2.
所求g(x)=$\frac{1}{2}{x^2}-2x$(x∈R).
(3)∵$h(x)=f(x)+g(x)=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-bx$,h′(x)=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$(x>0).
依题存在x>0使h′(x)=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$(x>0).
h′(x)<0(x>0)即存在x>0使x2-bx+1<0,
∵不等式x2-bx+1<0等价于$b>x+\frac{1}{x}$(*)
令$λ(x)=x+\frac{1}{x}(x>0)$,∵${λ^/}(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}(x>0)$.
∴λ(x)在(0,1)上递减,在[1,+∞)上递增,
故$λ(x)=x+\frac{1}{x}∈[2$,+∞),
∵存在x>0,不等式(*)成立,
∴b>2.所求b∈(2,+∞).
点评 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值和最值,同时考查函数的单调性的运用以及存在性问题,属于中档题.
A. | ?x∈R,sin2x≤1 | B. | ?x∉R,sin2x>1 | C. | ?x0∈R,sin2x≤1 | D. | ?x0∉R,sin2x>1 |