题目内容
12．已知函数f（x）=x3-3x，x∈R，若方程f（x）=k|x-$\sqrt{3}$|恰有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是（ ）| A． | （-$\frac{3}{4}$，6） | B． | （-6，$\frac{3}{4}$） | C． | （-∞，-6）∪（$\frac{3}{4}$，+∞） | D． | （-∞，-$\frac{3}{4}$）∪（6，+∞） |
分析 由题意，方程f（x）=k|x-$\sqrt{3}$|有1个根为$\sqrt{3}$，故问题转化为过（$\sqrt{3}$，0）的切线问题．
解答 解：由题意，方程f（x）=k|x-$\sqrt{3}$|有1个根为$\sqrt{3}$，故问题转化为过（$\sqrt{3}$，0）的切线问题．
∵f（x）=x3-3x，
∴f′（x）=3x2-3，
设切点为（a，a3-3a），则f′（a）=3a2-3，
切线方程为y-（a3-3a）=（3a2-3）（x-a），
代入（$\sqrt{3}$，0），可得0-（a3-3a）=（3a2-3）（$\sqrt{3}$-a），
∴（a-$\sqrt{3}$）2（2a+$\sqrt{3}$）=0，
∴a=$\sqrt{3}$或a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f′（a）=6或-$\frac{3}{4}$，
∴实数k的取值范围是（-6，$\frac{3}{4}$）．
故选：B．
点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．
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