Question

【题目】已知函数．

（1）当a＝时，试判断函数f(x)的单调性；

（2）设g(x)＝，若g(x)有唯一零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f(x)在(0，＋∞)上单调递减．（2）．

【解析】

（1）求出，两次求导，可判断在区间恒成立，从而可得结果；（2）g(x)＝，x＞0，g(x)＝＋2ax，分四种情况讨论，分别利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，结合单调性与极值分别判断是否符合题意，从而得到实数a的取值范围．

（1）当a＝时，f(x)＝，x＞0，

求导得，令p(x)=，则p(x)＝，

当x＞1时，p(x)＜0，当0＜x＜1时，p(x)＞0，

所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

所以f(x)≤f(1)＝0，当且仅当x＝1时，等号成立，

所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

（2）g(x)＝，x＞0，g(x)＝＋2ax，

①当a≥0时，g(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

因为g(1)＝0，所以g(x)有唯一零点.

②当a＝时，g(x)＝，

当0＜x＜1时，g(x)＞0，当x＞1时，g(x)＜0，

则g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

因为g(1)＝0，所以g(x)有唯一零点．

③当＜a＜0时，由g(x)＝0，得x＝＞1，

当0＜x＜时，g(x)＞0，当x＞时，g(x)＜0，

则g(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，

因为g(1)＝0，所以g()＞0，

由（1）可知，lnx≤，当且仅当x＝1时等号成立，

因为＞＞1（注：因为＜a＜0，所以，所以，所以，因为，所以，所以＞＞1），

且，

所以g(x)在(，)上存在一个零点，

即g(x)存在两个零点，不符合题意．

④当a＜时，由g(x)＝0，得x＝＜1，

当0＜x＜时，g(x)＞0，当x＞时，g(x)＜0，

则g(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，

因为g(1)＝0，所以g()＞0，

令h(x)＝xex＋1，h(x)＝(x＋1)ex，

易知h(x)在上单调递减，则在上h(x)＞＝1－＞0．

因为a＜，所以2a＜，所以h(2a)＝2ae2a＋1＞0，即ea＜＜1，

此时g(ea)＝＝ae2a＜0，

所以g(x)在(ea，)上存在一个零点，且g(1)＝0，

即g(x)存在两个零点，不符合题意．

综上所述，若g(x)有唯一零点，则实数a的取值范围是．