Question

【题目】年月日，小刘从各个渠道融资万元，在某大学投资一个咖啡店，年月日正式开业，已知开业第一年运营成本为万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本增加万元，若每年的销售额为万元，用数列表示前年的纯收入．（注：纯收入前年的总收入前年的总支出投资额）

（1）试求年平均利润最大时的年份（年份取正整数）并求出最大值．

（2）若前年的收入达到最大值时，小刘计划用前年总收入的对咖啡店进行重新装修，请问：小刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修（年份取整数）？并求小刘计划装修的费用．

Answer 1

【答案】（1）到年或年，年平均利润最大，最大值为万元；（2）小刘最早从年对咖啡店进行重新装修，计划装修费用为万元．

【解析】

（1）每年的运营成本构成一个等差数列，每年的销售额是一个常数列，根据题意，列出等式年平均利润为，之后应用基本不等式，结合求得结果；

（2）由（1）知，利用二次函数的性质以及的条件，得到当或时，取得最大值，进而得到结果.

（1）由条件可知，每年的运营成本构成首项为，公差为的等差数列，

，

则年平均利润为，

由，当且仅当，即时取等号．

但，且或时，．

此时，取最大值．

到年或年，年平均利润最大，最大值为万元；

（2）由（1）可得，

当或时，取得最大值．

（万元）

故小刘最早从年对咖啡店进行重新装修，计划装修费用为万元．