Question

【题目】已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若 ，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（Ⅱ）若直线l与曲线C1相切，M（1，0），求 的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，可设l：x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）

由 得：y2﹣4my﹣4n=0，

∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4n．

∴ ．

∴由 可得： ．

解得：n=2．

∴l：x=my+2，

∴直线l恒过定点（2，0）．

（Ⅱ）∵直线l与曲线C1相切，M（1，0），显然n≥3，

∴ ，

整理得：4m2=n2﹣2n﹣3．①

由（Ⅰ）及①可得：

∴ ，即 的取值范围是（﹣∞，﹣8]

【解析】（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）代入到 ，求得x1x2+y1y2=﹣4，即n2﹣4n=﹣4，由此求得n=2．根据点A表示出AB的直线方程整理可知过定点（2，0），综合结论可得．（Ⅱ）由直线与圆相切的性质可得 ，变形可得4m2=n2﹣2n﹣3，结合（1）的方程可得 ，由根与系数的关系分析可得答案．