题目内容
8.已知函数f(x)=$\sqrt{3}$sin(ωx)-2sin2$\frac{ωx}{2}$+α(ω>0)的最小正周期为3π,当x∈[0,π]时,函数f(x)的最小值为0.(I)求函数f(x)的表达式;
(II)若函数f(x)图象向右平移m(m>0)个单位后所对应的函数图象是偶函数图象,求m的最小值.
分析 (I)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性求得ω、再根据正弦函数的定义域和值域求得α的值,可得函数f(x)的表达式.
(II)由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得所得图象对应函数的解析式,再根据正弦函数、余弦函数的奇偶性求得m=-$\frac{3}{2}$kπ-$\frac{π}{2}$,k∈z,从而得到m的最小值.
解答 解:(I)函数f(x)=$\sqrt{3}$sin(ωx)-2sin2$\frac{ωx}{2}$+α=$\sqrt{3}$sin(ωx)+cos(ωx)+α-1
=2sin(ωx+$\frac{π}{6}$)+α-1的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=3π,∴ω=$\frac{2}{3}$.
当x∈[0,π]时,$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}$],函数f(x)的最小值为2×$\frac{1}{2}$+α-1=0,
∴α=0,f(x)=2sin($\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$)-1.
(II)函数f(x)图象向右平移m(m>0)个单位后,对应函数y=2sin[$\frac{2}{3}$(x-m)+$\frac{π}{6}$]=2sin($\frac{2}{3}$x-$\frac{2m}{3}$+$\frac{π}{6}$)的图象
根据所得图象对应的函数是偶函数,可得-$\frac{2m}{3}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈z,即m=-$\frac{3}{2}$kπ-$\frac{π}{2}$,k∈z,故m的最小值为π.
点评 本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性、定义域和值域,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、余弦函数的奇偶性,属于中档题.
A. | -$\frac{1}{8}$ | B. | $\frac{1}{8}$ | C. | ±$\frac{1}{8}$ | D. | -$\frac{1}{4}$ |
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | e2 | C. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D. | e-2 |
x | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
y | 5 | 6 | 5 | 9 | 10 |