Question

16．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（3，-4），$\overrightarrow{OB}$=（6，-3），$\overrightarrow{OC}$=（5-m，3-m），若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围（$\frac{3}{4}$，$\frac{19}{2}$）∪（$\frac{19}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 通过∠ABC为锐角，可得$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$＞0，即m＞$\frac{3}{4}$，排除$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{BA}$即m=$\frac{19}{2}$，计算即得结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=（3，-4），$\overrightarrow{OB}$=（6，-3），$\overrightarrow{OC}$=（5-m，3-m），
∴$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=（-3，-1），
$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=（-1-m，6-m），
∵∠ABC为锐角，
∴cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$＞＞0，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=3+3m+m-6=4m-3＞0，
即m＞$\frac{3}{4}$，
当$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{BA}$时，有（-3，-1）=（-1-m，6-m），
解得m=$\frac{19}{2}$，
∴当∠ABC为锐角时实数m的取值范围为：（$\frac{3}{4}$，$\frac{19}{2}$）∪（$\frac{19}{2}$，+∞），
故答案为：（$\frac{3}{4}$，$\frac{19}{2}$）∪（$\frac{19}{2}$，+∞）．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．