Question

1．已知函教f（x）=2+log₂x，x∈[1，4]．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）设g（x）=[f（x）]²-f（x²），求g（x）的最值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的单调性就可求出最大值和最小值，从而得出值域．
（2）g（x）=（log₂x）²+2log₂x+2，令log₂x=t，将g（x）转换为二次函数h（t）=t²+2t+2=（t+1）²+1的最大值和最小值问题．

解答 解：（1）∵f（x）=2+log₂x在[1，4]上单调递增，
∴f_min（x）=f（1）=2，f_max（x）=f（4）=4，
∴函数f（x）的值域是[2，4]．
（2）g（x）=[f（x）]²-f（x²）=（log₂x）²+2log₂x+2．
令log₂x=t，则0≤t≤2，
∴g（x）=t²+2t+2=（t+1）²+1．
令h（t）=（t+1）²+1，则h（t）在[0，2]上单调递增，
∴g_min（x）=h_min（t）=h（0）=2，此时log₂x=0，x=1；
g_max（x）=h_max（t）=h（2）=10，此时log₂x=2，x=4．

点评 本题考查了对数函数的单调性、二次函数的最值和换元法解题思想，是基础题．