Question

5．已知⊙A：（x-1）²+y²=16及定点B（-1，0），点P为⊙A上的任意一点，线段PB的垂直平分线交PA于M点，则点M的轨迹方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 结合线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及椭圆定义得到正确答案．

解答 解：⊙A：（x-1）²+y²=16，圆心为（1，0），半径为4，
因为线段PB的垂直平分线交PA于M点，所以|MB|=|MP|，
所以|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=|PA|=4＞|AB|．
所以由椭圆定义知，M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

点评 本题考查了椭圆的定义，考查了数学转化思想及数形结合的解题思想，是基础的定义题．