题目内容
【题目】(本题满分12分)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合,且两个坐标系的单位长度相同.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为
.
(Ⅰ)若直线l的斜率为-1,求直线l与曲线C交点的极坐标;
(Ⅱ)若直线l与曲线C相交弦长为,求直线l的参数方程(标准形式).
【答案】(Ⅰ);
(Ⅱ)(
为参数)或
(
为参数)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由直线的参数方程可知其过定点
,从而由直线方程的点斜式可得直线
的普通方程,将曲线
的极坐标方程按照极坐标和直角坐标互化公式
将其化为直角坐标方程,然后将直线方程和曲线方程联立求交点的直角作标,再将其化为极坐标. (Ⅱ)设出直线的斜率写出直线方程的直角坐标方程,由(Ⅰ)知曲线
时圆心为
半径为
的圆.先求圆心到直线的距离,再根据勾股定理可得关于
的方程,从而可求得
的值.即可知直线的倾斜角,从而可得直线的参数方程.
试题解析:解:(Ⅰ)直线的方程:
,即
;(1分)
,即
,(2分)
联立方程得,∴
;(4分)
极坐标为;(5分)
(Ⅱ),弦心距
,(6分)
设直线l的方程为,∴
,∴
或
.(8分)
∴直线:
(
为参数)或
(
为参数)(10分)
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