Question

【题目】如图所示，M、N、K分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：
（1）AN∥平面A1MK；
（2）MK⊥平面A1B1C．

Answer 1

【答案】证明：（1）连接KN，由于K、N为CD，C1D1的中点，
所以KN平行且等于AA1 ，
AA1KN为平行四边形AN∥A1K，
而A1K平面A1MK，AN平面A1MK，
从而AN∥平面A1MK．
（2）连接BC1 ， 由于M、K为AB、C1D1的中点，
所以：KC1与MB平行且相等，
从而：KC1MB为平行四边形，
所以：MK∥BC1 ，
而：BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1 ，
从而：BC1⊥平面A1B1C，
所以：MK⊥平面A1B1C．

【解析】（1），要证明AN∥平面A1MK，只需证明AN平行于平面A1MK内的一条直线，容易证明AN∥A1K，从而得证；
（2），要证明平面A1B1C⊥MK，只需证明BC1⊥平面A1B1C，BC1∥MK即可，从而问题得以解决．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对直线与平面垂直的判定的理解，了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．