题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
在区间
上的最大值和最小值;
(2)若在区间内,函数
的图象恒在直线
下方,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
.(2)
【解析】试题分析: (1)求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在给定区间上为增函数,所以为最小值,
为最大值;(2)令
,则
的定义域为
,即
在
内恒成立,对函数求导,按照极值点是否落在区间内分类讨论函数的单调性,得出函数的极值,利用
的最大值小于零得出参数范围.
试题解析:(1)当时,
,
,
对于,有
,∴
在区间
上为增函数,
∴,
.
(2)令,则
的定义域为
.
在区间上,函数
的图象恒在直线
下方等价于
在区间
上恒成立.
∵,
①若,令
,得极值点
,
.
当,即
时,在
上有
.
此时, 在区间
上是增函数,并且在该区间上有
,不合题意;
当,即
时,同理可知,
在区间
上,有
,也不合题意;
②若,则有
,此时在区间
上恒有
.
从而在区间
上是减函数.
要使在此区间上恒成立,只需满足
.
由此求得的范围是
.
综合①②可知,当时,函数
的图象恒在直线
下方.
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