题目内容
【题目】已知函数f(x)＝
，若数列{an}(n∈N*)满足：a1＝1，an＋1＝f(an)．
(1)证明数列{
}为等差数列，并求数列{an}的通项公式．
(2)设数列{cn}满足：cn＝
，求数列{cn}的前n项的和Sn.
【答案】(1) 见解析(2) Sn＝(n－1)2n＋1＋2.
【解析】试题分析：（1）先根据函数解析式得数列递推关系，再取倒数得到{
}递推关系，根据等差数列定义可判断为等差数列，根据等差数列通项公式求得
，再取倒数得数列{an}的通项公式．（2）根据错位相减法求数列{cn}的前n项的和，注意相减时符号变化，求和时项数得确定，最后不要忘记除以1-q
试题解析：(1)因为f(x)＝
，所以an＋1＝f(an)＝
，
所以
－
＝1，{
}是等差数列，
an＝
.
(2)cn＝n·2n，
所以Sn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，
2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，
所以2Sn－Sn＝Sn＝－2－22－23…－2n＋n·2n＋1
＝ (n－1)2n＋1＋2.
所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.
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