Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中， ， ，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．
（1）求证：O是AD中点；
（2）证明：BC⊥PB；
（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△PAB和△PBD都是等边三角形，

∴PA=PB=PD，

又∵PO⊥底面ABCD，

∴OA=OB=OD，

则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，

∴点O为AD中点

（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，

于是PO⊥面ABCD，

∴BC⊥PO，

∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，

∴ ，

又 ，∴ ，

从而 即CB⊥BO，

由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，

∴BC⊥PB

（3）解：以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，

∵AB=2，则O（0，0，0）， ， ， ， ， ， ， ， ，

设面PAB的法向量为 ，则 ， ，得 ， ，

取x=1，得y=﹣1，z=1，

故 ．

设面PBC的法向量为 ，则 ， ，得s=0， ，

取r=1，则t=1，故 ，

于是 ，

由图观察知A﹣PB﹣C为钝二面角，

所以该二面角的余弦值为-

【解析】（1）证明PO⊥底面ABCD，说明点O为△ABD的外心，然后判断点O为AD中点．（2）证明PO⊥面ABCD，推出BC⊥PO，证明CB⊥BO，BC⊥PO，证明CB⊥面PBO，推出BC⊥PB．（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系，求出相关点的坐标，平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解所以该二面角的余弦值即可．
【考点精析】利用直线与平面垂直的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知垂直于同一个平面的两条直线平行．