Question

【题目】已知函数f（x）=4x﹣a2x+1+a+1，a∈R．
（1）当a=1时，解方程f（x）﹣1=0；
（2）当0＜x＜1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1时，f（x）=4x﹣22x+2，

f（x）﹣1=（2x）2﹣2（2x）+1=（2x﹣1）2=0，

∴2x=1，解得：x=0

（2）解：4x﹣a（2x+1﹣1）+1＞0在（0，1）恒成立，

a（22x﹣1）＜4x+1，

∵2x+1＞1，

∴a＞ ，

令2x=t∈（1，2），g（t）= ，

则g′（t）= = =0，

t=t0，∴g（t）在（1，t0）递减，在（t0，2）递增，

而g（1）=2，g（2）= ，

∴a≥2

（3）解：若函数f（x）有零点，

则a= 有交点，

由（2）令g（t）=0，解得：t= ，

故a≥

【解析】（1）将a=的值代入，将2x看作一个整体，解出2x的值，从而求出x的值即可；（2）问题转化为a＞ ，令2x=t∈（1，2），g（t）= ，根据函数的单调性求出g（t）的最大值，从而求出a的范围即可；（3）问题转化为a= 有交点，根据（2）求出a的范围即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．