Question

【题目】已知函数f(x)＝x2－ax＋2lnx，a∈R.

(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若x>1时，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(－∞，1].

【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得斜率为－1，可得，求出导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；
(Ⅱ)运用参数分离，可得在 时恒成立，令求得导数，判断函数的单调性，运用单调性即可求得的取值范围．

试题解析：(Ⅰ)f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－a＋，

f′(1)＝4－a＝－1 ，a＝5，

f(x)＝x2－5x＋2lnx，f′(x)＝2x－5＋＝，

当x>2或0<x<时，f′(x)>0，当<x<2时，f′(x)<0，

故f(x)的单调递增区间为(0， )，(2，＋∞)，单调递减区间为(，2).

(Ⅱ)由f(x)>0，得a<在x>1时恒成立，

令g(x)＝，g′(x)＝

令h(x)＝x2＋2－2lnx，h′(x)＝2x－>0在x>1时成立，

所以h(x)在(1，＋∞)为增函数，h(x)>h(1)＝3>0 .

故g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)为增函数．g(x)>g(1)＝1，

所以a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1].