Question

【题目】已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0变形为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m．∵此方程表示圆，∴5﹣m＞0，解得m＜5，故m的取值范围是（﹣∞，5）
（2）解：设M（x1，y1），N（x2，y2）．

联立 化为5y2﹣16y+8+m=0，

∵直线与圆相交，∴△=162﹣20（8+m）＞0，化为 ．

∴y1+y2= ， ．

∵ ，∴ =0，

又x1x2=（4﹣2y1）（4﹣2y2）=16﹣8（y1+y2）+4y1y2，

∴5y1y2﹣8（y1+y2）+16=0，

∴8+m﹣ +16=0，

解得m= ，满足 ，

故m=

【解析】（1）由方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0配方为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m．由于此方程表示圆，可得5﹣m＞0，解出即可；（2）设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．与圆的方程联立可得△＞0及根与系数关系，再利用 ， =0，即可解出m．