Question

【题目】三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边中点，且CC1=2AB．

（1）求证：平面C1CD⊥平面ABC；
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（3）求三棱锥D﹣CAB1的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CC1⊥平面ABC，

又CC1平面C1CD，

∴平面C1CD⊥平面ABC

（2）证明：连结BC1，交B1C于点O，连结DO．

则O是BC1的中点，

DO是△BAC1的中位线．

∴DO∥AC1．

∵DO平面CDB1，

AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1

（3）解：∵CC1⊥平面ABC，BB1∥CC1，

∴BB1⊥平面ABC．

∴BB1 为三棱锥D﹣CBB1 的高．

= ．

∴三棱锥D﹣CAB1的体积为 ．

【解析】（1）由已知结合面面垂直的判断得答案； （2）连结BC1 ， 交B1C于点O，连结DO．由三角形中位线的性质得到DO∥AC1 ， 再由线面平行的判定定理得答案；（3）由CC1⊥平面ABC，BB1∥CC1 ， 得BB1⊥平面ABC，从而求得BB1 为三棱锥D﹣CBB1 的高，把三棱锥D﹣CAB1的体积转化为三棱锥B1﹣BCD的体积得答案．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．