Question

【题目】已知椭圆E： =1（a＞b＞0）过点 ，且离心率e为 ．

（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 ，解得 ，

∴椭圆E的方程为

（2）解：设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．

由 ，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，

∴y1+y2= ，y1y2= ，∴y0= ．

G ，

∴|GH|2= = + = + + ．

= = = ，

故|GH|2﹣ = + = ﹣ + = ＞0．

∴ ，故G在以AB为直径的圆外

解法二：设点A（x1y1），B（x2，y2），则 = ， = ．

由 ，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，

∴y1+y2= ，y1y2= ，

从而 =

= +y1y2

= +

= ﹣ + = ＞0．

∴ ＞0，又 ， 不共线，

∴∠AGB为锐角．

故点G 在以AB为直径的圆外

【解析】解法一：（1）由已知得 ，解得即可得出椭圆E的方程．（2）设点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），AB中点为H（x0 ， y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0= ．|GH|2= ． = ，作差|GH|2﹣ 即可判断出．
解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则 = ， = ．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算 = 即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．