Question

10．已知函数f（x）=log_a|$\frac{x-1}{x+1}$|（0＜a＜1）．
（1）求函数f（x）的定义域，并判断f（x）在定义域上的奇偶性；
（2）讨论函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{x-1}{x+1}$≠0，x+1≠0，解得即可得出函数f（x）的定义域；计算f（-x）与±f（x）的关系，即可判断出．
（2）函数f（x）在区间（-1，1）上的减函数．利用单调性的证明方法即可证明．

解答 解：（1）由$\frac{x-1}{x+1}$≠0，x+1≠0，解得x≠±1．
∴函数f（x）的定义域为{x|x∈R，x≠±1}．
f（-x）=$lo{g}_{a}|\frac{-x-1}{-x+1}|$=-$lo{g}_{a}|\frac{x-1}{x+1}|$=-f（x），
∴函数f（x）在定义域上是奇函数．
（2）函数f（x）在区间（-1，1）上的减函数．
证明：?x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂．
则f（x₁）-f（x₂）=$lo{g}_{a}\frac{1-{x}_{1}}{1+{x}_{2}}$-$lo{g}_{a}\frac{1-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$=$lo{g}_{a}\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$，
∵（1-x₁）（1+x₂）-（1+x₁）（1-x₂）=2（x₂-x₁）＞0，
（1-x₁）（1+x₂）＞0，（1+x₁）（1-x₂）＞0．
∴$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$＞1．
∴$lo{g}_{a}\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在区间（-1，1）上的减函数．

点评 本题考查了单调性的证明方法、奇偶性的判定方法、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．