Question

在棱长为2的正方体中，设是棱的中点.

⑴ 求证：；
⑵ 求证：平面；
⑶ 求三棱锥的体积.

Answer 1

⑴连接BD，AE. 故，因底面ABCD，故，故平面故 ⑵连接，设，连接，则为中点，而为的中点，则故平面 ⑶

试题分析：（1）连接BD，AE.  因四边形ABCD为正方形，故，
因底面ABCD，面ABCD，故，又，
故平面，平面，故.
⑵. 连接，设，连接，
则为中点，而为的中点，故为三角形的中位线，
，平面，平面，故平面.
⑶. 由⑵知，点A到平面的距离等于C到平面的距离，故三棱锥的体积，而，三棱锥的体积为.
点评：要证明线面平行常借助于平面外一直线与平面内一直线平行；线面的垂直关系中常用的思路是线线垂直与线面垂直的互相转化；第三问求三棱锥体积时采用等体积法的思路转化底面和顶点，是底面积和高都容易求出