Question

如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面， ∥，，，．

⑴证明：平面平面；
⑵当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）要证明平面平面，需要通过其判定定理来得到，先证明平面，进而得到。
（2）

试题分析：（Ⅰ）证明：因为是直径，所以            1分，
因为平面，所以                     2分，
因为，所以平面                 3分
因为， ，所以是平行四边形，，所以平面                                               4分，
因为平面，所以平面平面           5分
（Ⅱ）依题意，             6分，
由（Ⅰ）知
，当且仅当时等号成立                    8分
如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，则，，，             9分

设面的法向量为，，即，                  10分
设面的法向量为， ，即，                              12分
可以判断与二面角的平面角互补
二面角的余弦值为。                    13分
点评：主要是考查了面面垂直和二面角的平面角的求解，属于基础题。