题目内容
如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2, E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.
(1)求三棱锥E-CGF的体积;
(2)求证:平面PAB//平面EFG;
(1)求三棱锥E-CGF的体积;
(2)求证:平面PAB//平面EFG;
(1)(2)对于面面平行的证明,一般要根据判定定理来得到,先证明EG//平面PAB.来说民结论。
试题分析:(1)解:∵PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥BC.
又∵ABCD为正方形,
∴CD⊥BC,
∴BC⊥平面PCD即GC⊥平面CEF.
∴VE-CGF= VG-CEF=×S△CEF×GC=×(×1×1)×1=. 3分
(2)证明:E,F分别是线段PC,PD的中点,
∴EF//CD.
又ABCD为正方形,AB//CD,
∴EF//AB.
又EF平面PAB,
∴EF//平面PAB.
∵E,G分别是线段PC,BC的中点,
∴EG//PB.
又EG平面PAB,
∴EG//平面PAB.
∵EF∩EG=E,
∴平面PAB//平面EFG. 6分
(3)Q为线段PB中点时,PC⊥平面ADQ.
取PB中点Q,连接DE,EQ,AQ,
∵EQ//BC//AD,
∴ADEQ为平面四边形,
由PD⊥平面ABCD,得AD⊥PD,
又AD⊥CD,PD∩CD=D,
∴AD⊥平面PDC,∴AD⊥PC,
又三角形PDC为等腰直角三角形,E为斜边中点,
∴DE⊥PC.
∵AD∩DE=D,
∴PC⊥平面ADQ. 10分
点评:主要是考查了几何体的体积的计算,以及线面平行的判定定理的运用,属于中档题。
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