Question

已知椭圆方程为

x2

6

+

y2

b

=1（0＜b＜4），抛物线方程为x²=4by．过抛物线的焦点作y轴的垂线，与抛物线在第一象限的交点为A，抛物线在点A的切线经过椭圆的右焦点F．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设P为椭圆上的动点，由P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，且直线PQ上一点M满足|PQ|=λ|MQ|，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

考点：轨迹方程,椭圆的标准方程,椭圆的简单性质,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）抛物线的焦点为（0，b），过抛物线的焦点垂线于y轴的直线为y=b．联立抛物线方程，求出点A的坐标为（2b，b），推出y=

1

4b

x2，求出函数的导数，然后求出切线的斜率，求出切线方程，通过右焦点F的坐标解得b，即可求解椭圆方程，抛物线方程．
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），点M的坐标为（x，y），推出点Q的坐标为（x，0），且x₀=x，y₀=±λy．将其代入椭圆方程，然后通过λ的值说明轨迹方程的形状即可．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）抛物线的焦点为（0，b），过抛物线的焦点垂线于y轴的直线为y=b．
由

x2=4by y=b

得点A的坐标为（2b，b）．…（2分）
由x²=4by得y=

1

4b

x2，
∴y/=

1

2b

x，故y′|_x=2b=1．…（3分）
∴抛物线在点A的切线方程为y-b=x-2b，即x-y-b=0．…（4分）
又由椭圆方程及0＜b＜4知，右焦点F的坐标为(

6-b

，0)．…（5分）
∴

6-b

-0-b=0，解得b=2．…（7分）
∴椭圆方程为

x2

6

+

y2

2

=1，抛物线方程为x²=8y．　      …（8分）
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），点M的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，0），且x₀=x，y₀=±λy．由已知知λ＞0．…（10分）
将其代入椭圆方程得

x2

6

+

y2

2 λ2

=1．…（11分）
当λ=

3

3

，即6=

2

λ2

时，点M的轨迹方程为x²+y²=6，其轨迹是以原点为圆心，半径为

6

的圆；　                               …（12分）
当0＜λ＜

3

3

，即6＜

2

λ2

时，点M的轨迹方程为

x2

6

+

y2

2 λ2

=1，其轨迹是焦点在y轴上的椭圆；　                                     …（13分）
当λ＞

3

3

，即6＞

2

λ2

时，点M的轨迹方程为

x2

6

+

y2

2 λ2

=1，其轨迹是焦点在x轴上的椭圆．…（14分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，椭圆方程与抛物线方程的求法，轨迹方程与轨迹的关系，考查转化思想以及计算能力．