Question

已知椭圆过点P(1，

3

2

)，其焦点为F₁（-1，0）和F₂（1，0）．
（1）求椭圆的方程．
（2）过F₁作倾角为45°的直线交椭圆于A、B两点，求三角形ABF₂的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出椭圆方程，求出c，再由椭圆的定义，求得a，由a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可得到．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由条件知椭圆焦距2c=2，得c=1，
又椭圆过点P(1，

3

2

)，其焦点为F₁（-1，0）和F₂（1，0），
则椭圆长轴长2a=|AF1|+|AF2|=

( 3 2 -0)2+(1+1)2

+

3

2

=

5

2

+

3

2

=4，
所以a=2，则b²=3，
所求椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由题意，直线l的方程为y=x+1，
联立直线与椭圆方程消去y，得7x²+8x-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

8

7

，x1x2=-

8

7

，
由弦长公式：|AB|=

1+12

|x2-x1|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

24

7

，
点F₂（1，0）到直线AB的距离d=

|1-0+1|

2

=

2

，
∴三角形ABF₂的面积S=

1

2

|AB|•d=

12

7

2

．

点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用弦长公式，考查点到直线的距离公式和三角形的面积公式，属于中档题．