题目内容
已知函数
.
(Ⅰ)求函数
在
处的切线方程;
(Ⅱ)若函数
在
上单调减,且在
上单调增,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)当
时,若
,函数
的切线中总存在一条切线与函数
在
处的切线垂直,求
的最小值.


(Ⅰ)求函数


(Ⅱ)若函数




(Ⅲ)当






解:(I)由已知
,
,所以
,
所以函数
在
处的切线方程为
(II)解1:①当
时,
,满足在
上
,且在
上
,所以当
时满足题意;
②当
时,
是恒过点
,开口向下且对称轴
的抛物线,由二次函数图象分析可得在
上
,且在
上
的充要条件是
解得
,即
综上讨论可得
解2:由已知可得在
上
,且在
上
,
即
在
上成立且
在
成立;
因为在
上
,在
上
所以
(III)当
时,
由题意可得
,总存在
使得
成立,即
成立,因为
,当
时,
,所以
,解得
所以
的最小值为



所以函数



(II)解1:①当







②当











综上讨论可得

解2:由已知可得在




即




因为在




所以

(III)当


由题意可得









所以


略

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