题目内容
【题目】如图,三棱台的底面是正三角形,平面
平面
,
.
(1)求证:;
(2)若,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)取的中点为
,连结
,易证四边形
为平行四边形,即
,由于
,
为
的中点,可得到
,从而得到
,即可证明
平面
,从而得到
;(Ⅱ)易证
,
,
两两垂直,以
,
,
分别为
,
,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
,求出平面
的一个法向量为
,设
与平面
所成角为
,则
,即可得到答案。
解:(Ⅰ)取的中点为
,连结
.
由是三棱台得,平面
平面
,从而
.
∵,∴
,
∴四边形为平行四边形,∴
.
∵,
为
的中点,
∴,∴
.
∵平面平面
,且交线为
,
平面
,
∴平面
,而
平面
,
∴.
(Ⅱ)连结.
由是正三角形,且
为中点,则
.
由(Ⅰ)知,平面
,
,
∴,
,
∴,
,
两两垂直.
以,
,
分别为
,
,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
.
设,则
,
,
,
,
∴,
,
.
设平面的一个法向量为
.
由可得,
.
令,则
,
,∴
.
设与平面
所成角为
,则
.
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