题目内容
【题目】已知圆的圆心为
,点
是圆
上的动点,点
,线段
的垂直平分线交
于
点.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)过点作斜率不为0的直线
与(1)中的轨迹
交于
,
两点,点
关于
轴的对称点为
,连接
交
轴于点
,求
.
【答案】(1);(2)
.
【解析】分析:(1)利用待定系数法求出点在以
、
为焦点,长轴长为4的椭圆上,点
的轨迹
的方程为
.(2)先求出点Q的坐标,再利用两点间的距离公式求
.
详解:(1)由题意知,线段的垂直平分线交
于
点,所以
,
∴,
∴点在以
、
为焦点,长轴长为4的椭圆上,
,
,
,
∴点的轨迹
的方程为
.
(2)依题意可设直线方程为
,将直线方程代入
,
化简得,
设直线与椭圆
的两交点为
,
,
由,得
,①
且,
,②
因为点关于
轴的对称点为
,则
,可设
,
所以,
所以所在直线方程为
,
令,得
,③
把②代入③,得,
∴点的坐标为
,
∴.
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