题目内容
【题目】已知数列和
满足:
,
,
,其中
为实数,
为正整数.
(Ⅰ)证明:对任意的实数,数列
不是等比数列;
(Ⅱ)证明:当时,数列
是等比数列;
(Ⅲ)设为数列
的前
项和,是否存在实数
,使得对任意正整数
,都有
?若存在,求
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)见详解;(Ⅱ)见详解;(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)假设是等比数列,根据和
建立等式,若无解,说明假设不成立;(Ⅱ)根据
和
求出
和
的关系,再根据等比数列的定义证明;(Ⅲ)
时,成立;
,根据等比数列的求和公式解不等式.
(Ⅰ)证明:假设存在一个实数,使
是等比数列,则有
,
即,矛盾.
所以不是等比数列.
(Ⅱ)证明:
.
又.由上式知
,
故当时,数列
是以
为首项,
为公比的等比数列.
(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)得
,
于是,
当时,
,从而
.上式仍成立.
要使对任意正整数,都有
.
即.
令,则
当为正奇数时,
:当
为正偶数时,
,
的最大值为
.
于是可得.
综上所述,存在实数,使得对任意正整数
,都有
;
的取值范围为
.
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练习册系列答案
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播放器180台.而10月份,该商场从每个代理商处购得的产品数量都是9月份的1.5倍.现知甲、乙两个代理商给出的产品单价(元)如下页表中所示:
彩电 | U盘 |
| |
甲代理商单价(元) | 2350 | 1200 | 750 |
乙代理商单价(元) | 2100 | 920 | 700 |
(1)计算,并指出结果的实际意义;
(2)用矩阵求该商场在这两个月中分别支付给两个代理商的购货费用.