题目内容
7.设函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx,0≤x≤1}\\{lo{g}_{2015}x,x≥1}\end{array}\right.$,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围为(2,2016).分析 由0≤x≤1,可得sinπx∈[0,1],且x∈[0,$\frac{1}{2}$]时,函数f(x)=sinπx单调递增;x∈[$\frac{1}{2}$,1]时,函数f(x)=sinπx单调递减.x>1,log2015x>0,且函数f(x)=log2015x单调递增,log20152015=1.不妨设0<a<b<c,利用f(a)=f(b)=f(c),可得a+b=1,2015>c>1,即可得出.
解答 解:∵0≤x≤1,
∴sinπx∈[0,1],且x∈[0,$\frac{1}{2}$]时,
函数f(x)=sinπx单调递增,函数值由0增加到1;
x∈[$\frac{1}{2}$,1]时,函数f(x)=sinπx单调递减,
函数值由1减少到0;
x>1,∴log2015x>0,
且函数f(x)=log2015x单调递增,
log20152015=1.
不妨设0<a<b<c,
∵f(a)=f(b)=f(c),
∴a+b=1,2015>c>1,
∴a+b+c的取值范围是(2,2016).
故答案为:(2,2016).
点评 本题考查了函数的单调性与值域,考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力,属于难题.
练习册系列答案
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