Question

20．若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”，则称f（x）为完美函数．给出下列四个函数，其中是完美函数的是①③．
①f（x）=$\frac{1}{x}$；②f（x）=|x|；③f（x）=x²-3x；④f（x）=2^x．

Answer 1

分析 首先分析题目要求选择满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”的函数．故可以把4个选项中的函数分别代入不等式|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|分别验证是否成立即可得到答案．

解答 解：在区间（1，2）上的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），分别验证下列4个函数．
对于①：f（x）=$\frac{1}{x}$，|f（x₂）-f（x₁）|=|$\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{1}}$|=|$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$|＜|x₂-x₁|（x₁，x₂在区间（1，2）上，故x₁x₂大于1），故①是完美函数；
对于②：f（x）=|x|，|f（x₂）-f（x₁）|=||x₂|-|x₁||=|x₂-x₁|，故②不是完美函数；
对于③：f（x）=x²-3x，|f（x₂）-f（x₁）|=|${{x}_{2}}^{2}-3{x}_{2}$$-{{x}_{1}}^{2}+3{x}_{1}$|=|x₁+x₂-3|•|x₂-x₁|，
∵x₁，x₂∈（1，2），∴|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立，故③是完美函数；
对于④：f（x）=2^x，|f（x₂）-f（x₁）|=|${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}$|，
不妨设x₁＜x₂，令函数g（x）=2^x-x，g′（x）=2^xln2-1，
∴g（x）在（1，2）上为增函数，则${2}^{{x}_{2}}-{x}_{2}＞{2}^{{x}_{1}}-{x}_{1}$，∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞{x}_{2}-{x}_{1}$，
∴|${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}$|＞|x₂-x₁|，故④不是完美函数．
∴正确的答案为①③．
故答案为：①③．

点评 此题主要考查绝对值不等式的应用问题．对于此类型的题目需要对题目选项一个一个做分析，然后用排除法作答即可．属于中档题目．