Question

15．已知函数f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（-3）=a，用a表示f（12）．

Answer 1

分析 （1）判断f（x）奇偶性，即找出f（-x）与f（x）之间的关系，∴令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故问题转化为求f（0）即可，可对x、y都赋值为0；
（2）由于知晓f（-3）=a故解本题关键是找出f（12）与f（-3）之间的关系，注意用（1）的结论．

解答 解：（1）证明：显然f（x）的定义域是R，关于原点对称．
又∵函数对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）∵f（-3）=a且f（x）为奇函数，
∴f（3）=-f（-3）=-a．
又∵f（x+y）=f（x）+f（y），x、y∈R，
∴f（12）=f（6+6）=f（6）+f（6）
=2f（6）=2f（3+3）=4f（3）=-4a．
故f（12）=-4a．

点评 本题考点是抽象函数及其性质，在研究其奇偶性时本题采取了连续赋值的技巧，这是判断抽象函数性质时常用的一种探究的方式，在第二问的求值中根据恒等式的结构把已知用未知表示出来，做题时注意体会抽象函数恒等式的用法规律．