Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系的极坐标方程为，直线l的参数方程为，（其中为参数）直线l与交于A，B两个不同的点．

求倾斜角的取值范围；

求线段AB中点P的轨迹的参数方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（是参数）.

【解析】

（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换进一步利用点到直线的距离公式的应用求出的取值范围．

（2）进一步利用直线和曲线的位置关系和一元二次方程根和系数关系和中点的坐标公式的应用求出结果．

（1）直线的倾斜角为，

当时，直线（即轴）与交于两个不同的点，符合题目要求；

当时，记，

直线的参数方程为 化为普通方程得，

圆心到直线的距离．

直线与交于不同的两点，

解得：或．

当时，直线的倾斜角的取值范围是；

当时，的取值范围是,

综上，直线的倾斜角的取值范围是．

（2）的极坐标方程为，其直角坐标方程为，

因直线的参数方程为（其中为参数，

故可设，，

代入中得到：，

注意到 ，为方程的根，故，

点的坐标为即，

所以点的轨迹参数方程为：（为参数）．