题目内容

7.设正四棱台ABCD-A′B′C′D′中的上、下底面边长分别为2和4,侧棱长度为2,求这个棱台的高和斜高.

分析 正四棱台ABCD-A′B′C′D′中,作出上、下底的中心O、O′,连结OO′,过O作OE⊥AD,交AD于E,过O′作O′F⊥A′D′,交A′D′于F,过E作EK⊥O′F,交O′F于K,高h=OO'=EK,斜高 h'=EF=DH,由此能求出结果.

解答 解:∵正四棱台ABCD-A′B′C′D′中的上、下底面边长分别为2和4,侧棱长度为2,
∴如图:正四棱台ABCD-A′B′C′D′中,
作出上、下底的中心O、O′,连结OO′,
过O作OE⊥AD,交AD于E,过O′作O′F⊥A′D′,交A′D′于F,
过E作EK⊥O′F,交O′F于K,
则高h=OO'=EK,
斜高 h'=EF=DH,HD′=$\frac{4-2}{2}$=1=KF,
斜高 h'=EF=DH=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$,
高h=OO'=EK=$\sqrt{E{F}^{2}-F{K}^{2}}$=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$.
∴这个棱台的高为$\sqrt{2}$,斜高为$\sqrt{3}$.

点评 本题考查正四棱台的高和斜高的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意正四棱台的结构特征的合理运用.

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