已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．其左右焦点分别为F1.F2．满足$\overrightarrow{T{F} {1}}$•$\overrightarrow{T{F} {2}}$=2x2+3.求动点T的轨迹方程,(2)若S为椭圆C上一动点.S点在x轴上的投影是D.求DS的中点W的轨迹方程,作动弦MN.求MN中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．其左右焦点分别为F₁、F₂．
（1）若动点T（x，y）满足$\overrightarrow{T{F}_{1}}$•$\overrightarrow{T{F}_{2}}$=2x²+3，求动点T的轨迹方程；
（2）若S为椭圆C上一动点，S点在x轴上的投影是D，求DS的中点W的轨迹方程；
（3）过椭圆C内一点A（1，1）作动弦MN，求MN中点Q的轨迹方程；
（4）过点P（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．

分析（1）运用向量的数量积的坐标表示，即可得到所求轨迹方程；
（2）设S（u，v），即有D（u，0），W（u，$\frac{1}{2}$v），由代入法，即可得到所求轨迹方程；
（3）设M（m，n），N（s，t），代入椭圆方程，由点差法，结合中点的坐标公式和直线的斜率公式，即可得到所求轨迹方程；
（4）设出直线方程，代入椭圆方程，再由以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB，可得$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，运用向量的加法坐标运算，由消去参数，即可得到所求轨迹方程．

解答解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1的F₁（-1，0），F₂（1，0），
$\overrightarrow{T{F}_{1}}$•$\overrightarrow{T{F}_{2}}$=2x²+3，可得（-1-x）（1-x）+y²=2x²+3，
化简可得y²-x²=4；
（2）设S（u，v），即有D（u，0），W（u，$\frac{1}{2}$v），
令x=u，y=$\frac{1}{2}$v，即为u=x，v=2y，由椭圆方程可得W的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1；
（3）设M（m，n），N（s，t），即有
$\frac{{m}^{2}}{4}$+$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，$\frac{{s}^{2}}{4}$+$\frac{{t}^{2}}{3}$=1，
两式相减可得$\frac{（m-s）（m+s）}{4}$+$\frac{（n-t）（n+t）}{3}$=0，
由m+s=2，n+t=2，k_MN=$\frac{n-t}{m-s}$，可得k_MN=-$\frac{3}{4}$，
则MN中点Q的轨迹方程为y-1=-$\frac{3}{4}$（x-1），即为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$；
（4）设P（3，0）的直线l：y=k（x-3），代入椭圆方程可得
（3+4k²）x²-24k²x+36k²-12=0，
由△＞0可得k²＜$\frac{3}{5}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-6）=$\frac{-18k}{3+4{k}^{2}}$，
由以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB，可得$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
即有（x，y）=（x₁+x₂，y₁+y₂），
即为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}\\{y=-\frac{18k}{3+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，消去k，可得3x²+4y²-18x=0（0≤x≤$\frac{8}{3}$）．