Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{{a^x}-1}}{{{a^x}+1}}$（a＞0，a≠1）
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）求该函数的值域；
（3）判断f（x）在R上的单调性，并证明．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）的定义域为R，计算f（-x），与±f（x）的关系，即可判断出奇偶性；
（2）由f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，设t=a^x，则t＞0，$y=1-\frac{2}{t+1}$，利用函数的单调性即可得出值域．
（3）设x₁＜x₂，f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，通过作差、分类讨论即可得出．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为R，f（-x）=$\frac{{a}^{-x}-1}{{a}^{-x}+1}$=$\frac{1-{a}^{x}}{1+{a}^{x}}$=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）∵f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，
设t=a^x，则t＞0，
$y=1-\frac{2}{t+1}$，
∴该函数的值域为（-1，1），
（3）设x₁＜x₂，f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，
则f（x₁）-f（x₂）=$（1-\frac{2}{{a}^{{x}_{1}}+1}）-（1-\frac{2}{{a}^{{x}_{2}}+1}）$=$\frac{2（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）}{（{a}^{{x}_{1}}+1）（{a}^{{x}_{2}}+1）}$，
若a＞1，则$0＜{a}^{{x}_{1}}＜{a}^{{x}_{2}}$，∴${a}^{{x}_{1}}＜{a}^{{x}_{2}}$，${a}^{{x}_{1}}+1＞$0，${a}^{{x}_{2}}+1$＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函数．
若0＜a＜1，则同理可证明f（x）在R上是增函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．