题目内容
【题目】已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（3， 
）．曲线C的参数方程为ρ=2cos（θ﹣ ）（θ为参数）．
（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若Q为曲线C上的动点，求PQ的中点M到直线l：2ρcosθ+4ρsinθ= 
的距离的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）由P点的极坐标为（3， 
），∴xP=3 
= 
，yP=3 
= ， ∴点P的直角坐标为 
．
曲线C的参数方程为ρ=2cos（θ﹣ ）（θ为参数），展开可得：ρ2= 
（ρcosθ+ρsinθ），
∴x2+y2= 
x+ y，
配方为： 
+ 
=1．
（Ⅱ）直线l：2ρcosθ+4ρsinθ= 的直角坐标方程为：：2x+4y= ．
设Q 
，则M 
，
则点M到直线l的距离d= 
= 
= 
，当且仅当sin（θ+φ）=﹣1时取等号．
∴点M到直线l：2ρcosθ+4ρsinθ= 的距离的最小值是
【解析】（Ⅰ）由P点的极坐标为（3， 
），利用 
可得点P的直角坐标．曲线C的参数方程为ρ=2cos（θ﹣ ）（θ为参数），展开可得：ρ2= 
（ρcosθ+ρsinθ），利用 及其ρ2=x2+y2即可得出直角坐标方程．（Ⅱ）直线l：2ρcosθ+4ρsinθ= 
的直角坐标方程为：：2x+4y= ．设Q 
，则M 
，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性值域即可得出．
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