Question

【题目】（本小题只理科做，满分14分）如图,已知平面,,△是正三角形,,且是的中点.

（1）求证:平面;

（2）求证:平面平面;

（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（I）要证明线面垂直，就是要在平面BCE中找一条与AF垂直的直线，这条直线容易看出是平面BAF与平面BCE的交线，当然根据已知条件，辅助线可直接取CE中点P，直线BP就是我们要找的平等线；（II）本证面面垂直，先要证线面垂直，先看题中有没有已知的垂直关系，发现有直线AF与平面CDE垂直，而在（I）的证明中有BP//AF，BP就是我们要找的线面垂直中的线；（III）平面BCE与平面ACD有一个公共点C，依据二面角的定义，要选作出二面角的棱，然后作出平面角，才能求出二面角的大小，但由（I）题中有两两垂直的三条直线FA，FP，AD，故我们可建立空间直角坐标系，通过空间向量来求二面角大小．

试题解析：（I）解：取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，

∴FP//DE，且FP=又AB//DE，且AB=

∴AB//FP，且AB=FP， ∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。

又∵AF平面BCE，BP平面BCE， ∴AF//平面BCE。 3分

（II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。∵AB⊥平面ACD，DE//AB，

∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE。又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。

又∵BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE。 7分

（III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，则C（0，—1，0），

显然，为平面ACD的法向量。

设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为

，

即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。 13分