Question

【题目】已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．
（Ⅰ）求证：f（x）≥5；
（Ⅱ）若对任意实数x，15﹣2f（x）＜a2+ 都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵ ， ∴f（x）的最小值为5，∴f（x）≥5．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：15﹣2f（x）的最大值等于5．
∵ ，
“=”成立 ，即 ，
∴当 时， 取得最小值5．
当 时， ，
又∵对任意实数x， 都成立，
∴ ．∴a的取值范围为
【解析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于f（x）的分段函数，从而求出f（x）的最小值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出a的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．